Definición de interés simple. Definición de Interés compuesto.

Definición de interés simple. Interés compuesto. Valor temporal del dinero. Tipos nominales y efectivos. TIR o tasa interna de retorno.

Se pretenden definir los conceptos de interés simple e interés compuesto que servirán de base para poder definir el concepto de “valor temporal” del dinero y cuál es la manera correcta de medir la rentabilidad de cualquier inversión (“Investment Appraisal”) bien sea financiera o no; cuando se reciben flujos monetarios en distintos momentos del tiempo (que suele ser la mayoría de las veces en la vida real y los negocios), mediante el usa de la TIR y el VAN.

Es muy importante antes de empezar entender que el concepto de interés va asociado a un horizonte temporal, es decir yo puedo hablar de un tipo de interés nominal anual del 12% que equivale a un tipo de interés nominal mensual del 1% (12%/12 meses en el año), o el 3% interés nominal trimestral (12%/4 trimestres en el año) o el 6% de interés nominal semestral (12%/2 semestres en el año). El concepto de por qué “nominal” lo explicaremos más adelante, porque como veremos también hay tipos de interés “efectivos”. Generalmente si no se especifica lo contrario, el tipo de interés que se usa por convenio es el interés nominal anual.

A cuándo el interés es generado se le llama “devengo de intereses”, así tenemos devengos anuales, mensuales, trimestrales y semestrales respectivamente.
Conviene aclarar el concepto de “base de tipos de interés” (que es usada en los mercados financieros), y que se define como el cociente entre el número de días que tiene cada periodo (b) y del número de días totales que consta una operación (h).

La siguiente idea que debemos entender es si existe o no reinversión de los intereses que hemos ganado y el dinero inicial que hemos invertido (al que nos referiremos como “Vo” o principal invertido). Si existe reinversión de los intereses entonces estaremos hablando de interés compuesto y si no existe, hablaremos de interés simple. Es fundamental entender que como norma y convenio se suele aplicar el interés compuesto a inversiones con plazos superiores a 1 año y el interés simple a inversiones con horizonte temporal inferior a 1 año. Aunque esto es cierto, lo que debe guiarnos siempre a la hora de decidir si usar interés simple o compuesto es si existe o no reinversión de intereses (si los hay, siempre interés compuesto). Es decir podemos tener una inversión a un plazo de 6 meses con reinversión de intereses bimensual (usaré interés compuesto aunque el plazo Aclaremos adicionalmente que estamos ante una moneda con dos caras distintas desde la perspectiva de que hablaremos de rentabilidad de una inversión o coste de una financiación según seamos los inversores o prestatarios.

Pongamos un ejemplo para aclarar los conceptos tratados:

Ejemplo 1: Supongamos una inversión de €1000 iniciales, a un tipo de interés anual del 10%, con generación de intereses (devengo) y reinversión de los mismos cada año. La inversión tiene una duración de 3 años.
a) Interés compuesto: El 10% de €1000 son €100, luego al final del año 1, tendríamos €1000 iniciales que invertí más los intereses generados que en este caso son €100. Como el interés es compuesto, esos €100 no se sacan de la cuenta corriente si no que se reinvierten junto con el capital inicial aportado de €1000 (por ser interés compuesto) otro año más al 10%, generando unos intereses de €110 al final del año 2 (10%*€1100), teniendo por tanto al final del año 2 un capital total de 1210€ = €1000+10%(€1000)+10%(€1100)=€1210. Si reinvertimos otro año más esos €1210 sin sacarlos de la cuenta corriente, obtendríamos un interés para el tercer año del 10%*€1210=€121, obteniendo y recuperando al final del tercer año en nuestra inversión €1331 (el capital inicial de €1000 más los intereses generados cada año que contabilizan €100+€110+€121=€331).

Extrapolando a “n” años obtenemos la fórmula del interés compuesto, que nos indica que el capital final “Vf” que obtenemos en una inversión a “n” años, con un tipo de interés anual “i”, y habiendo aportado una cantidad inicial “Vo” donde se produce la reinversión anual del principal y los intereses (es decir no retiramos durante el periodo de inversión el dinero, ni intereses/ganancias ni principal) corresponde a la fórmula:
Interés Compuesto Vf=Vo*(1+i)^n

Es fundamental entender que en esta fórmula si el interés es anual, el tiempo “n” debe ir en años, si el interés es mensual el tiempo “n” va en meses, si el interés es semestral el tiempo “n” va en semestres.

b) Interés simple: No se realiza reinversión de los intereses, por lo que al final del año 1 tendremos €100 de intereses generados que no reinvertimos, invirtiendo por tanto en el año 2 sólo los €1000 iniciales y obteniendo intereses por valor de €100, volviendo a reinvertir el principal de €1000 durante el año 3, que generará otros €100 en intereses recuperando al final del año 3 €1000 de prinicipal y €300 de intereses. Si analizamos el dinero ganado por intereses vía esta opción es de €300 frente a los €331 del interés compuesto.
La fórmula por tanto del interés simple es:
Interés Simple Vf=Vo*(1+i*n)

Entendida la diferencia entre interés simple y compuesto, continuemos viendo más ejemplos para aclarar más conceptos, en el ejemplo 2 veremos la idea de devengo y reinversión de intereses con periodicidades inferiores a 1 año.

Ejemplo 2: Supongamos una inversión de €1000 a un plazo de 1,5 años, al 12% interés (nominal) anual con devengo de intereses mensual y reinversión de los mismos. ¿Cuánto dinero tendríamos al final de la inversión? La forma de proceder sería:
• ¿Es interés simple o interés compuesto? Interés compuesto porque existe reinversión de intereses. Vf=Vo*(1+i)^n.
• ¿Cuándo es el devengo de intereses? Mensual, entonces el tipo de interés que tengo que usar debe ser el (nominal) mensual. 12% anual dividido entre 12 meses = 1% (nominal) mensual.
• ¿Cuál es la duración de la inversión? 1,5 años. Como tengo el interés (nominal) en meses, debo pasar 1,5 años a meses: 12*1,5=18 meses.
• Aplicando la fórmula del interés compuesto el capital que tendría en el banco a los 1,5 años sería de: Vf=Vo*(1+i)^n=€1000*(1+1%)^18=€1196,14
• Si no hubiera habido reinversión de los intereses mensual, el interés a aplicar habría sido el simple y el valor final obtenido habría sido de: Vf=Vo*(1+i*n)=€1000*(1+1%*18)=€1000*(1+12%*1,5)=€1180.
• Como podemos observar el interés compuesto siempre da rentabilidades superiores que el interés simple porque el hecho de reinvertir intereses.
Ejemplo 3: Supongamos ahora una inversión de €1000, a un plazo de 1,5 años, con un tipo de interés (nominal) a ese plazo del 12%, y sin reinversión de intereses. ¿Cuánto dinero tendríamos al final del periodo?
• El interés a aplicar es interés simple pues no existe reinversión de intereses.
• Vf=Vo*(1+i*n)=€1000*(1+12%*1)=€1200

Si analizamos los resultados obtenidos en el ejemplo 2 y 3, observamos que obtenemos resultados distintos según apliquemos interés simple o compuesto, por lo que la siguiente pregunta que nos surge es cómo poder comparar inversiones que tienen tipos de interés o plazos de inversión distintos. Para ello es necesario entender y definir el concepto de TAE (“Tasa anual equivalente”), que en la terminología inglesa se conoce como “CAGR” (“Compound Annual Growing Rate”), que fundamentalmente nos permite homogeneizar inversiones con plazos de inversión y tipos de interés distintos para poder así realizar comparaciones y decidir qué inversión es más atractiva. La TAE es una tasa o tipo de interés anual “efectivo”, y para calcularla lo que se plantea es una inversión “ficticia” o “equivalente” a la que tengo que produzca un resultado final igual a la inversión real que estoy calculando, planteándose por tanto una igualdad donde las variables conocidas son el capital inicial invertido, el tipo de interés a aplicar, el tiempo y la incógnita la TAE. Es importante entender que la TAE al ser un tipo anual, el periodo de tiempo debe ir en años (no olvidar nunca que interés y tiempo van siempre en las mismas unidades de tiempo: meses, trimestres, años, etc).

Así para el ejemplo 2, la ecuación a plantear para el caso de interés compuesto sería:
• Interés compuesto: Vf=Vo*(1+i)^n=Vo*(1+TAE)^n
• €1000*(1+1%)^18=€1000*(1+TAE)^1,5
• Despejando obtenemos TAE=12,68%
Para el ejemplo 2, la ecuación a plantear para el caso de interés simple sería:
• Interés simple: Vf=Vo*(1+i*n)=(1+TAE)^n
• €1000*(1+1%*18)=€1000*(1+TAE)^1,5
• Despejando la TAE=11,67%
Para el ejemplo 3, donde el tipo de interés es del 12% para un periodo de 1,5 años y un plazo de inversión de 1,5 años, la ecuación a plantear también bajo un caso de interés simple sería:
• Interés simple: Vf=€1000*(1+12%*1)=€1000*(1+TAE)^1,5
• Despejando obtenemos una TAE:=7,85%

Analizando las TAEs de las tres inversiones para un capital inicial invertido de €1000 observamos que la mejor inversión en términos de rentabilidad homogenizada es la inversión primera del ejemplo 2 (€1000, plazo 1,5 años, interés anual del 12% con devengo mensual y reinversión de intereses-interés compuesto y TAE: 12,68%) frente a la inversión 2 del ejemplo 2 (inversión de €1000, a un plazo de 1,5 años, interés anual 12% sin reinversión de intereses-interés simple, TAE: 11,67%) y frente a la inversión del ejemplo 3 (€1000, plazo 1,5 años, tipo de interés a 1,5 años del 12% sin reinversión de intereses-interés simple).

Si quisiéramos saber cuánto tiempo nos lleva duplicar nuestra inversión, obtenemos la regla del 72, que no hace nada más que despejar la fórmula ya conocidad del interés compuesto donde el valor final es dos veces el valor inicial: Vf=2Vo=Vo*(1+i)^n y despejando de dicha ecuación se obtiene: “número de años para duplicar una inversión incial Vo”=72/(tipo de interés).

Una vez entendidos estos conceptos podemos hablar del valor temporal del dinero y cómo medir la rentabilidad de una inversión cuando comparamos magnitudes monetarias en instantes de tiempo distintos. ¿Pensáis que si invertimos €1000 hoy y recuperamos €500 el año que viene y €1500 dentro de dos años la rentabilidad de la inversión es: €1000/€1000=100%? La respuesta es NO. La rentabilidad de esta inversión no es del 100% aunque tradicionalmente y de forma muy común se haga así en la vida cotidiana: €500 ganados al final del año 1 más €1500 ganados al final del año 2 frente a los €1000 invertidos suponen una ganancia de €1000 sobre €1000 euros invertidos pero esto es incorrecto debido a que los €500 fueron originados en el año 1 y los €1500 en el año dos, y si sumo magnitudes monetarias en momentos de tiempo distintos es como intentar sumar peras con manzanas. Sólo si ambas magnitudes monetarias estás referenciadas al mismo instante de tiempo podré sumarlas, y por ello se habla del valor temporal del dinero como un binomio (€,t), donde es necesario utilizar la fórmula del interés compuesto para mover flujos monetarios a distintos momentos del tiempo.

2. TIPOS DE INTERÉS NOMINALES, EFECTIVOS Y REALES
Suele haber mucha confusión al respecto porque no suelen diferenciarse adecuadamente.

Un tipo de interés ligado a un plazo de tiempo, puede ser cualquiera de los tres. El tipo de interés real es aquel que “elimina el efecto de la inflación”, y por tanto es un interés “neto”.
Como hemos visto, por convenio y si no se especifica lo contrario, el interés que se dá por defecto es el “interés nominal”, que si no se especifica lo contrario es al plazo de un año. Como hemos visto puede existir reinversión o no de intereses (diaria, mensual, bi-mensual, trimestral, semestral, etc) y aparece la necesidad de usar interés compuesto si existe reinversión de intereses, y por tanto aparecen los “tipos de interés efectivos” (TAE=Tasa Anual Equivalente=CAGR=Compound Annual Growing Rate).

El objetivo definir un tipo efectivo es poder comparar de manera homogénea todo tipo de inversiones que tienen plazos de inversión y rentabilidades nominales distintas. Con los tipos efectivos tengo un medida porcentual anual homogénea que me permite comprar inversiones. Cuando estudiemos análisis de inversiones, veremos que la tasa interna de rentabilidad (TIR) = internal rate of return (IRR) también es un tipo efectivo.
Para calcular tipos efectivos los que se hace es plantear una ecuación matemática donde tenemos nuestra inversión dada (calculamos cuál sería el valor futuro de la inversión, siendo este resultado el primer término de la ecuación) y se debe equiparar a una inversión “ficticia” cuyo “devengo de intereses es anual” (calculamos el valor futuro de una inversión que no existe, que es al plazo de un año con reinversión anual de intereses, siendo la segunda parte de la ecuación.
Despejando la ecuación obtenemos la “tasa anual equivalente TAE”.

Ejemplo 1
Calcular el tanto efectivo anual=TAE=tasa de interés anual=interés efectivo anual de una inversión a 1 año que tiene un interés nominal anual del 6% con reinversión de intereses trimestral.
1. Interés trimestral = i4=6%/4=1,5% (Este es un interés nominal trimestral).
2. El valor futuro de mi inversión con reinversión trimestral de intereses aplicando la fórmula del interés compuesto es (no olvidar que al poner el interés en trimestres el tiempo 1 año debe ir en trimestres, que son 4 trimestres en 1 año:
Vf=Vo*(1+1,5%)^4
3. El valor futuro equivalente de una inversión “ficticia” con reinversión de intereses anual (TAE=incógnita) sería aplicando la fórmula del interés compuesto:
Vf=Vo*(1+TAE)^1
4. Igualando las dos ecuaciones (2)=(3)
Obtenemos Vo*(1+1,5%)^4=Vo*(1+TAE)^1
5. La TAE es por tanto:
[(1,015)^4]-1= 6,136%

Ejemplo 2
Si hacemos el mismo ejercicio pero para un periodo de tiempo de inversión de 3 años, la fórmula nos quedaría
(1+1,5%)^3años*4trimestres=(1+TAE)^3años
La TAE= [(1,015^12)^(1/3)]-1= 6,136%
De aquí deducimos la fórmula general para relacionar tipos de interés nominal con tipos efectivos:
(1+interés nominal del periodo%)^tiempo en la misma base que el interés nominal dado=(1+TAE anual)^tiempo en años.
Finalmente, una vez entendidos los tipos de interés nominales, obtenidos los tipos de interés efectivos (posibilitan homogenizar inversiones y permiten comparar); el siguiente paso es obtener la rentabilidad real o tipo de interés real, es decir, eliminando el efecto de la inflación. El interés efectivo se despeja de la ecuación de abajo donde los datos son la inflación y el tipo de interés bruto efectivo calculado.
(1+interés “bruto efectivo”)= (1+inflación)*(1+interés real efectivo)

3. DEFINICIÓN DE VALOR TEMPORAL DEL DINERO
Este apartado pretende aclarar y definir el concepto de valor temporal del dinero. Definido de esta manera parece algo “extraño y difícil de entender, pero no; explicado de una forma sencilla pretende clarificar, por ejemplo, si 1000€ a día de hoy son equivalentes a 1000€ dentro de 1 año o en cualquier otro momento de tiempo. O si al jubilarnos y recibir €150.000 dentro de 35 años, esos €150.000 equivalen a €150.000 euros hoy (la respuesta es no!!!!, y no sólo por el hecho de que exista inflación).

Hablar del valor temporal del dinero es hablar del binomio (dinero, tiempo), es decir, cualquier flujo monetario recibido o pagado se produce en un instante de tiempo (ahora, dentro de un año, dentro de diez, etc) e implica que sólo flujos monetarios que ocurren en el mismo instante de tiempo son comparables y se pueden sumar/restar (es como sumar “peras” con “peras”), sin embargo flujos monetarios en instantes de tiempo distintos (1000€ hoy y 1000€ en 1 año) no se pueden sumar porque sería como sumar “peras” con “manzanas” al tener el binomio flujo monetario 0: (1000€, t0=hoy), flujo monetario 1: (1000€, t1=1año).

¿Y por qué flujos monetarios en momentos distintos no se pueden sumar? La razón es el “coste de oportunidad”. Es decir, 1000€ a día de hoy pueden ser invertidos en distintos proyectos (montar una empresa, depósito bancario, comprar acciones, comprar deuda del Tesoro, etc) que a un plazo de tiempo determinado generarán una rentabilidad o pérdida determinada, y es por este motivo, el coste de oportunidad implícito en cualquier inversión por el cual el dinero tiene valor temporal, y 1000€ hoy, no son en absoluto iguales a 1000€ dentro de un año o 1000€ dentro de 10 años.
Para poder entender el valor temporal del dinero, es necesario que entendido la diferencia entre interés simple e interés compuesto. El motivo es que necesitamos usar la fórmula del interés compuesto para nuestros cálculos y debemos entender de dónde viene dicha fórmula:
Interés Compuesto Vf=Vo*(1+i)^t

Como podéis observar, en esta fórmula las variables son dos flujos monetarios (valor inicial invertido “Vo” y valor final de la inversión “Vf”), horizonte temporal de la inversión o tiempo que existe entre los dos flujos monetarios (“t” años) y tipo de interés anual o rentabilidad anual recibida (“i”). De la fórmula podemos deducir y concluir que dos flujos monetarios en distintos instantes de tiempo son comparables o iguales al aplicar una determinada rentabilidad o tipo de interés, por ejemplo:
• Un valor futuro Vf=€1000 en el plazo de 1 año es equivalente a un valor inicial o invertido Vo=€1000 si y sólo si el tipo de interés es del 0%.
• 1000€ hoy son equivalentes a 1100€ dentro de 1 año al tipo de interés del 10%.

Como podéis observar la fórmula del interés compuesto nos permite mover cualquier flujo monetario que ocurre en un momento preciso del tiempo, a cualquier otro momento de tiempo pasado o futuro, aplicando una tasa de interés. Esta tasa de interés es la razón que permite responder a la pregunta: ¿si €1000 hoy son equivalentes a 1000€ dentro de un año? La respuesta es sí, al tipo de interés del 0%, ó €1100 al tipo de interés del 10%. Aquí es donde radica el concepto de valor temporal del dinero y definición de coste de oportunidad, €1000 para invertir hoy, los puedo colocar en distintos productos financieros que ofrecen rentabilidades distintas, una vez elegido uno de esos productos y su correspondiente rentabilidad asociada (por ejemplo i=0%), no podré elegir otro producto financiero con otra rentabilidad asociada (por ejemplo el 10%) y por ello para esta inversión habrá habido un coste de oportunidad de poder haber colocado mi dinero al 10% de rentabilidad frente al 0% de rentabilidad real que lo coloqué, y por ello €1000 hoy no son equivalentes a €1000 dentro de un año (sólo lo son al 0% de interés).

La conclusión inmediata es que podemos sumar/restar flujos monetarios que se encuentren en el mismo instante de tiempo, si no se da este caso, llevaremos todos los flujos monetarios al instante de tiempo que elijamos (da igual cuál) y una vez movidos todos los flujos allí podremos sumarlos/restarlos/operarlos:
• A la operación matemática de traerse un flujo futuro a un instante de tiempo anterior se le llama “descontar el flujo”. Vo=Vf / (1+i)^t (Descontar flujos implica que de la fórmula anterior conocemos el valor futuro, el tipo de interés y el tiempo, siendo la incógnita el valor inicial que queremos calcular. Al cociente 1/(1+i)^t se le denomina “factor de descuento”.
• Y si se lleva a un instante de tiempo posterior se le denomina “capitalizar el flujo”. Vf=Vo*(1+i)^t. Capitalizar flujos implica que conocemos el valor actual Vo y ese flujo queremos llevarlo al futuro, por lo que las variables conocidas son Vo, tipo de interés y tiempo. Al término multiplicador (1+i)^t se le denomina “factor de capitalización”
Cuando descontamos un flujo monetario futuro al momento actual (es decir hoy, “to”) estamos calculando lo que se denomina “valor actual de un flujo” o “present value”. Si en vez de descontar un solo flujo positivo, descontamos muchos flujos positivos y negativos, obtenemos el “valor actual neto (VAN)” o “net present value (NPV)” de todos esos flujos, que puede resultar ser positivo o negativo.

Pero clarifiquemos todos estos conceptos con varios ejemplos:

Ejemplo 1: “Moviendo flujos monetarios a instantes de tiempo distintos – Descontar flujos – ¿Cuánto vale el dinero ahorrado para mi pensión a día de hoy?”
• ¿A cuánto equivalen €250.000 que recibimos dentro de 35 años a día de hoy al 3% de interés, considerando que este es valor promedio o histórico de la inflación?
• El valor actual del binomio flujo 1 (€250.000, t35=35 años) equivale descontando el flujo a flujo 0 (€88.846, t0=hoy).
• Es decir que no nos engañemos pensando que €250.000 dentro de 35 años son €250.000 a día de hoy y que podré comprar las mismas cosas que hoy dentro de 35 años. A efectos reales esos €250.000 equivalen a €88.846 a día de hoy a un 3% de interés. Valor temporal del dinero!!!!!!

Ejemplo 2: “Productos garantizados: ¿Garantizan realmente la inversión?”
Se define como producto garantizado aquel que al invertir un capital inicial de por ejemplo €1000, al cabo de 1 año te devuelve, garantizando en teoría por tanto, el principal o capital inicial invertido de €1000.
Si analizamos este producto sin tener en cuenta el valor temporal del dinero, nuestra conclusión sería que en efecto nos ha garantizado la inversión, pues invertí €1000 y tengo al cabo de 1 año €1000. Pero esto no es cierto, nosotros en esta inversión hemos perdido dinero, ¿cuál?:
• El coste de oportunidad de haber invertido nuestro dinero en un depósito al 2% a un año, que haría que tuviéramos €1020.
• La inflación o pérdida de poder adquisitivo por encarecimiento de los precios de los productos, debido a que con €1000 hoy no puedo comprar las mismas cosas dentro de un año porque se han encarecido. La inflación histórica se puede situar en torno al 3% anual (para Estados Unidos en el periodo 1930-2009).

Luego nuestro “maravilloso” depósito garantizado nos ha hecho perder valor adquisitivo de nuestros €1000 un 3% vía inflación y un 2% de rentabilidad adicional no realizada vía coste de oportunidad. Incluso el garantizado con un 2% anual de rentabilidad sería una inversión poco óptima porque no logra superar la inflación. Indudablemente el efecto para el plazo de un año es pequeño (2%-3%=-1%), pero imaginemos esta misma inversión a un horizonte temporal de 35 años, a “groso modo” la pérdida de mi cartera sería -1%*35años=-35% de pérdida de poder adquisitivo (Esto es una aproximación, que como veremos más adelante no es correcta calcularla así pero de forma intuitiva parece indicar que una pérdida de 1% sobre un periodo de tiempo grande tendrá implicaciones series de pérdida de valor adquisitivo en nuestra cartera).

Ahora extrapolemos esta situación a los planes de pensiones en España, con rentabilidades históricas promedio del orden del 1,8% anual y una inflación histórica en niveles entorno al 3%…
Para ello supongamos una persona que invierte 10.000€ hoy para su jubilación a 35 años, y al tipo de rentabilidad histórica de los planes de pensiones. El dinero consolidado que tendría en 35 años sería de Vf=10.000*(1+1,8%)^35= 18.671€.

Sin embargo, como la inflación la vamos a estimar en un 3% tomando como referencia su valor histórico, dentro de 35 años nuestro plan de pensiones debería de tener al menos Vf=10.000*(1+3%)^35=28.138€ para mantener el mismo poder adquisitivo de nuestros €10.000. Como podéis ver, en nuestra inversión recuperaremos 18.671€ en vez de 28.138€, habiendo por tanto consolidado una pérdida implícita de 9.468€, es decir, casi del 100% de nuestros 10.000€.

Ejemplo 3: “Moviendo flujos monetarios a instantes de tiempo distintos – Capitalizar flujos – ¿Cuánto dinero tendré dentro de 35 años si invierto €30.000 en el índice de renta variable americano Standard & Poors 500 a una rentabilidad del 7,5% anualizada, que es la rentabilidad del S&P500 en el periodo 1 Ene 1950-1 Feb 2010?
Vf=30000*(1+7,5%)^35=€377.066

Ejemplo 4: “Descontando el efecto de la inflación en una inversión”
Para el ejemplo 3, como he dicho anteriormente, esos €377.066 obtenidos del resultado de invertir €30.000 a 35 años en el S&P500 al 7,5% de rentabilidad no equivalen a €377.066 hoy, por el valor temporal del dinero y el efecto de la inflación. Si la inflación histórica anualizada es del 3%, descontando €377.066 al momento actual al 3% (efecto inflación) y un plazo de 35 años podremos ver a cuánto equivalen €377.066, es decir €134.003 a día de hoy.
• Vo=377066/(1+3%)^35=€134003

Ejemplo 5: “Rentabilidad de una inversión: Tasa interna de rentabilidad (TIR) o internal rate of return (IRR)”.
¿Pensáis que si invertimos €1000 hoy y recuperamos €1500 el año que viene y €1500 dentro de dos años la rentabilidad de la inversión es: €2000/€1000=200%? La respuesta es NO!!!.
La rentabilidad de esta inversión no es del 200% aunque tradicionalmente y de forma muy común se haga así en la vida cotidiana: €1500 ganados al final del año 1 más €1500 ganados al final del año 2 frente a los €1000 invertidos suponen una ganancia de €3000-€1000= €2000 sobre €1000 euros invertidos pero esto es incorrecto debido a que los €1500 fueron originados en el año 1 y los €1500 en el año dos, y si sumo magnitudes monetarias en momentos de tiempo distintos como hemos visto en este artículo es incorrecto por intentar sumar peras con manzanas.
Sólo si ambas magnitudes monetarias estás referenciadas al mismo instante de tiempo podré sumarlas, y por ello se habla del valor temporal del dinero como un binomio (€, t), donde es necesario utilizar la fórmula del interés compuesto para mover flujos monetarios a distintos momentos del tiempo.
¿Entonces cómo calculo la rentabilidad de una inversión si no vale la fórmula tradicional de R(%)=ganancia/dinero invertido? Deberemos calcular el valor actual neto de todos los flujos positivos y negativos (dinero recibido y dinero invertido) y forzar a que dicho sumatorio o valor actual neto sea igual a cero. Resolviendo esta ecuación que no es lineal, la única incógnita es el tipo de interés o rentabilidad de la inversión, siendo en este caso la “Tasa interna de rentabilidad o rentabilidad de la inversión” (TIR) o “Internal Rate of Return” (IRR) en la nomenclatura anglosajona.

Para el caso que nos ocupa:
• Flujo monetario 1 en t0: (-1000€, to=0). Es dinero que sale de nuestros ahorros y que invertimos, lleva por tanto signo negativo). Su valor actual por estar en t0 es -1000€.
• Flujo monetario 2 que recibimos en t1=1 año. (€1500, t1=1). Positivo por ser un dinero que la inversión produce y que entra en mis ahorros.
• Flujo monetario 3 que recibimos en t2=2º año. (€1500, t2=2). Positivo por ser un dinero que la inversión produce y que entra en mis ahorros.
• Condición para calcular la TIR es que el valor actual neto de todos los flujos en t0 sea igual a cero y despejo de la ecuación la rentabilidad.
• Valor actual neto = 0 = -1000 + 1500/(1+TIR)^1 +1500/(1+TIR)^2
• Resolviendo la ecuación la rentabilidad de la inversión es la TIR=119% que no tiene nada que ver con el 200% calculado por la fórmula R(%) = ganancia/dinero invertido.

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