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Compound annual growth rate, CAGR: definición

En el siguiente artículo pretendo explicar el concepto financiero CAGR: Compound Annual Growth Rate, y para qué puede usarse esta métrica.

Es importante entender que el CAGR cumple las siguientes características:

1. Es una tasa de interes anual que asume reinversión de intereses, por lo tanto es un Interés compuesto.

2. Es un tipo de interés efectivo, es decir, un tipo de interés que se usa para poder comparar inversiones (que tienen distintos plazos de inversión, interés, reinversión de intereses y principal invertido), y decidir por tanto cuál es más rentable.  En español, la definición de CAGR es TAE (Tasa Anual Equivalente).

3. Es un tipo de interés ficticio que no tiene nada que ver con nuestra inversión real. Supongamos por ejemplo que compramos acciones de un banco hoy a un precio de 1000€. La cotización de esa acción variará todos los días y también el valor de nuestra inversión. Si cuando han transcurrido 2,5 años tenemos 5000€, nuestra “inversión real” es la curva de “precio acción*número acciones compradas”. Ahora bien, si queremos calcular la CAGR=TAE de esta inversión (=interés anual compuesto, es decir, asumiendo reinversión anual de las ganancias) lo que haremos es inventar una “inversión ficticia” que no existe, pero que produce el mismo resultado que nuestra “inversión real”, es decir, que tengamos en 2,5 años 5000€ habiendo invertido 1000€.

4. El CAGR, o tasa anual equivalente de nuestra inversión anterior sería:

  • Inversión real=inversión ficticia.
  • 5000€ dentro de 2,5 años = 1000*(1+CAGR)^2,5 años
  • CAGR=0,9036=90,36% de ganancia anual compuesta.

5. Es decir, hemos invertido 1000€ en unas acciones que han seguido una evolución de precios diaria (real) y vamos a sustituir esta curva por una inversión de 1000€ y que dentro de 2,5 años tiene 5000€ con la peculiaridad de que nuestros 1000€ todos los años se revalorizan un 90,36% anual y reinvierte las ganancias.

6. El CARG puede calcularse para todo valor (precio de acción, indice bursátil, índice de cualquier otro tipo, etc) que tiene una evolución en el tiempo, y conocemos el valor inicial (1000€), valor final (5000€) y años entre el valor inicial y final (2,5 años). Y bien, ¿qué uso puedo darle por tanto al CAGR? Veamos algunos ejemplos:

  1. Valor del índice IPC en t=0, 100. Valor del índice IPC en t=3, 145. El CAGR de la inflación en el periodo t=0 a t=3 sería: 145=100*(1+CAGR)^3. CAGR=13,18%. Por lo tanto, el aumento de precios anual sería del 13,18%.
  2. Ver el crecimiento de anual de un mercado. Supongamos que valor del mercado de e-commerce en España en 2010 es 10.000 millones de Euros, y en 2015, 15.000 millones de Euros. El CAGR o tasa de crecimiento anual compuesto histórica en el periodo 2010-2015 del mercado de e-commerce sería: 15000=10000*(1+CAGR)^5. CAGR=8,44%. Es decir, el mercado de e-commerce habría crecido históricamente un 8,44% anual, siendo un mercado “apetitoso” por valor de 15.000 millones.
  3. Ver qué inversión es más rentable. Pongamos un ejemplo: El 1 de enero del año 2000 las acciones de la empresa A valen 5€/acción y las de la empresa B valen 1€/acción. Estamos a 1 de enero de 2015 y el valor de las acciones de A son 500€/acción y las de la empresa B 40€/acción. ¿En qué acciones deberíamos de invertir nuestro dinero por tener una mayor rentabilidad? Calcularemos el CAGR (es decir, el crecimiento anual compuesto en % en el periodo de 15 años.
  4. Acción “A”: 500=5*(1+CAGR)^(15). CAGR2000-2015_empA=35,93%.
  5. Acción “B”: 40=1*(1+CAGR)^(1/15). CAGR2000-2015_empB=27,88%.
  6. Basada en esta información deberíamos ser la empresa A por tener una CAGR=35,93%>27,88%.

Finalmente al usar el CAGR para analizar inversiones, es importante matizar que este ratio no tiene en cuenta la rentabilidad obtenida en relación al riesgo asumido. Por ello es fundamental que no sólo se mire rentabilidad, sino adicionalmente riesgo asumido para obtener esa rentabilidad.

Saludos cordiales

Antonio Alcocer

www.antonioalcocer.com

“Lo que no se puede medir, difícilmente se puede mejorar”.

Interés efectivo y TAE (Tasa Anual Equivalente)

INTERÉS EFECTIVO Y TAE (TASA ANUAL EQUIVALENTE)

El objetivo de este artículo es explicar la definición e importancia de los tipos de interés efectivos, conocidos como TAE o Tasa Anual Equivalente (que en la terminología inglesa se conoce como CAGR: Compound Annual Growing Rate), como método de cálculo para homogeneizar, poder comparar inversiones y decidir cuál es más atractiva.

Para ello la siguiente pregunta que debemos plantearnos es que si tenemos diferentes inversiones, con distintas cantidades, periodos de tiempo, donde unas tienen reinversión de intereses y otras no, y entre aquellas que tienen reinversión, la frecuencia de reinversión es distinta, ¿cómo podemos saber cuál es la inversión que tiene una mayor rentabilidad? Para ello necesitaremos hablar del concepto de interés efectivo. Es decir, necesitamos empezar a diferenciar entre intereses nominales (con los que empezamos a hacer los cálculos de matemáticas financieras) e intereses efectivos (que son los que de alguna forma nos permiten homogeneizar inversiones para que las podamos comparar, y aquella que tenga un interés efectivo superior, será la más rentable).

También es importante entender que el procedimiento de la TAE para el cálculo de las inversiones sólo vale y puede aplicarse cuando el proyecto tiene un flujo inicial (inversión en t=0) y recuperamos el principal e intereses en el futuro en otro instante de tiempo, es decir, si tenemos un proyecto que tiene muchos flujos positivos y negativos a lo largo de la vida del proyecto (es decir, más de 2 flujos), no podremos utilizar la TAE, y deberemos usar los métodos usados en finanzas corporativas para el análisis de inversiones que se describen en el post investment appraisal techniques, y que son el VAN, TIR y payback. Por ello, 2 flujos, podemos usar TAE; + de 2 flujos debemos usar la TIR. Tanto TAE como TIR son intereses anuales compuestos porque suponen reversión de intereses anual.

Si analizamos los resultados obtenidos en el ejemplo 4 (Explicado en el artículo interés compuesto) y ejemplo 2 (Explicado en el artículo interés simple), observamos que obtenemos resultados distintos según apliquemos interés simple o compuesto, por lo que la siguiente pregunta que nos surge es cómo poder comparar inversiones que tienen tipos de interés o plazos de inversión distintos:

La TAE es una tasa o tipo de interés anual, y para calcularla lo que se plantea es una inversión “ficticia” o “equivalente” a la que tengo que produzca un resultado final igual a la inversión real que estoy calculando, planteándose por tanto una igualdad donde las variables conocidas son el capital inicial invertido, el tipo de interés a aplicar, el tiempo y la incógnita la TAE. Es importante entender que la TAE al ser un tipo anual, el periodo de tiempo debe ir en años.

a) Supongamos que queremos calcular la TAE de una inversión a 18 meses con un interés nominal anual del 12% sin reinversión de intereses.

  • Interés simple: Vf=Vo*(1+i*n)=(1+TAE)^n (Inversión real):
  • Vf=€1.000*(1+1%*18)
  • Inversión ficticia en términos anuales y con reinversión:
  • Vf=€1.000*(1+TAE)^1,5
  • Igualamos la inversión real con la ficticia.
  • €1.000*(1+1%*18)=€1.000*(1+TAE)^1,5
  • Despejando la TAE=11,67%

b) Para el ejemplo 2, donde el tipo de interés es del 12% para un periodo de 1,5 años sin reinversión de intereses y un plazo de inversión de 1,5 años, la ecuación a plantear sería:

  • Interés simple: Vf=€1.000*(1+12%*1)=€1.000*(1+TAE)^1,5
  • Despejando obtenemos una TAE:=7,85%

c) Para el ejemplo 4, la ecuación a plantear para el caso de interés compuesto con reinversión mensual de intereses, duración 1,5 años e interés nominal anual del 12%, la TAE sería:

  • Interés compuesto: Vf=Vo*(1+i)^n=Vo*(1+TAE)^n
  • €1.000*(1+1%)^18=€1.000*(1+TAE)^1,5
  • Despejando obtenemos TAE=12,68%

Analizando las TAEs de las tres inversiones para un capital inicial invertido de €1.000 observamos que la mejor inversión en términos de rentabilidad homogenizada es la inversión tercera, ejemplo 4 (€1.000, plazo 1,5 años, interés anual del 12% con devengo mensual y reinversión de intereses-interés compuesto y TAE: 12,68%) frente a la inversión del primer ejemplo (inversión de €1.000, a un plazo de 1,5 años, interés anual 12% sin reinversión de intereses-interés simple, TAE: 11,67%) y frente a la inversión segunda, ejemplo 2 (€1.000, plazo 1,5 años, tipo de interés a 1,5 años del 12% sin reinversión de intereses-interés simple).

Conviene remarcar que la TAE:

1) Es un media geométrica, que no está afectada por valores intermedios de las observaciones, sino sólo del valor final e inicial.

2) Para calcular una TAE, no es necesario conocer la cantidad invertida ni el periodo de tiempo de una inversión. Pongamos un ejemplo: Supongamos un inversión con interés compuesto (reinversión trimestral, n=4). ¿Cuál es la TAE?

  • Inversión real: Vf=Vo*(1+i4)^(n años*4 trimestres)
  • Inversión ficticia (la de la TAE). Vf=Vo*(1+TAE)^(n años)
  • Igualamos la inversión ficticia a la real, y como podemos ver la variable “n años” y Vo, “inversión inicial” desaparecen de la ecuación.
  • (1+i4)^4=(1+TAE)

3) Otros potenciales usos de la TAE sería para calcular el crecimiento anual compuesto de cualquier índice, acción, mercado, variable que tiene un valor y evoluciona en el tiempo. Supongamos por ejemplo que el valor de un índice bursátil es 10€ en 1990 y 100€ en 2014. Como conocemos el valor futuro y final, y la inversión presenta un plazo superior a un año (debemos usar interés compuesto por convenio), la TAE de esta inversión sería: Vf=100€=10€*(1+TAE)^24. TAE=10,06%. La TAE no indicaría que la acción ha crecido anualmente de forma compuesta al 10,06% cada año (aunque realmente la acción no haya crecido así, sin embargo, el valor inicial y final son los mismos.

Como conclusión por tanto los tipos efectivos son el procedimiento para homogeneizar inversiones, ya que hemos pasado de una inversión real a una inversión ficticia (que no existe pero que se realiza de forma anual compuesta y genera el mismo resultado que la inversión real que tenemos).

 Saludos cordiales,

Antonio Alcocer

www.antonioalcocer.com

www.minds4change.org

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