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Definición de interés compuesto

DEFINICIÓN DE INTERÉS COMPUESTO

En el post anterior definición de interés e interés nominal explicamos ambos conceptos financieros y cómo calcularlos. Posteriormente explicábamos la definición de interés simple, y en este post, definiremos cuándo se debe usar el interés compuesto.

La siguiente idea que debemos comprender para poder definir el “interés compuesto”, es entender si existe o no reinversión de los intereses, ganancias o plusvalías generadas por la inversión, es decir, qué hemos ganado y el dinero inicial que hemos invertido (al que nos referiremos como “Vo” o principal invertido).

Si existe reinversión de los intereses generados entonces estaremos hablando de interés compuesto y si no existe reinversión, hablaremos de interés simple.

También es fundamental entender que si no tenemos información de si existe o no reinversión de los intereses, como norma y convenio se suele aplicar el interés compuesto a inversiones con plazos superiores a 1 año y el interés simple a inversiones con horizonte temporal inferior a 1 año. Para t=1 año, ambos intereses proporcionan el mismo resultado.

Sin embargo, lo que debe guiarnos primero siempre es ver si existe o no reinversión de intereses (si los hay, siempre interés compuesto), y si no tenemos información de la reinversión, entonces aplicar le criterio del tiempo. Es decir podemos tener una inversión a un plazo de 6 meses con reinversión de intereses bimensual (usaré interés compuesto aunque el plazo<1 año) o tener una inversión con duración 5 años sin reinversión de intereses (usaré interés simple).

Aclaremos adicionalmente que estamos ante una moneda con dos caras distintas desde la perspectiva de que hablaremos de rentabilidad de una inversión o coste de una financiación según seamos los inversores o prestatarios.

Pongamos un ejemplo para aclarar los conceptos tratados:

Ejemplo 3 – Interés compuesto: Supongamos una inversión de €1.000 iniciales, a un tipo de interés anual del 10%, con generación de intereses (devengo) y reinversión de los mismos cada año. La inversión tiene una duración de 3 años.

El 10% de €1.000 son €100, luego al final del año 1, tendríamos €1.000 iniciales que invertí más los intereses generados que en este caso son €100. Como el interés es compuesto, esos €100 no se sacan de la cuenta corriente, si no que se reinvierten junto con el capital inicial aportado de €1.000 (por ser interés compuesto) otro año más al 10%, generando unos intereses de €110 al final del año 2 (10%*€1.100), teniendo por tanto al final del año 2 un capital total de 1.210€ = €1.000+10%(€1.000)+10%(€1.100)=€1.210. Si reinvertimos otro año más esos €1.210 sin sacarlos de la cuenta corriente, obtendríamos un interés para el tercer año del 10%*€1.210=€121, obteniendo y recuperando al final del tercer año en nuestra inversión €1.331 (el capital inicial de €1.000 más los intereses generados cada año que contabilizan €100+€110+€121=€331).

Extrapolando a “n” años obtenemos la fórmula del interés compuesto, que nos indica que el capital final “Vf” que obtenemos en una inversión a “n” años, con un tipo de interés nominal anual “i”, y habiendo aportado una cantidad inicial “Vo” donde se produce la reinversión anual del principal y los intereses (es decir no retiramos durante el periodo de inversión el dinero,  ni intereses/ganancias ni principal) corresponde a la fórmula:

  • Vf=Vo*(1+i)^n
  • Es fundamental entender que en esta fórmula si el interés es anual, el tiempo “n” debe ir en años, si el interés es mensual el tiempo “n” va en meses, si el interés es semestral el tiempo “n” va en semestres.
  • Vf=Valor final de la inversión, en este caso en el año 3. V3.
  • V0=Valor inicial en t=0 de la inversión, en este caso el dinero que invertimos.
  • i=Interés nominal anual.
  • n=Tiempo en años porque hemos usado interés nominal anual.

Ejemplo 4 – Interés compuesto: Supongamos una inversión de €1.000 a un plazo de 1,5 años, al 12% interés anual con devengo de intereses mensual y reinversión de los mismos. ¿Cuánto dinero tendríamos al final de la inversión? La forma de proceder sería:

  • ¿Es interés simple o interés compuesto? Interés compuesto porque existe reinversión de intereses. Vf=Vo*(1+i)^n.
  • ¿Cuándo es el devengo de intereses? Mensual, entonces el tipo de interés que tengo que usar debe ser el interés nominal mensual (i12). 12% anual dividido entre 12 meses = 1% interés nominal mensual.
  • ¿Cuál es la duración de la inversión? 1,5 años. Como tengo el interés en meses, debo pasar 1,5 años a meses: 12*1,5=18 meses.
  • Aplicando la fórmula del interés compuesto el capital que tendría en el banco a los 1,5 años sería de:  Vf=Vo*(1+i)^n=€1.000*(1+1%)^18=€1.196,14
  • Si no hubiera habido reinversión de los intereses, el interés a aplicar habría sido el simple y el valor final obtenido habría sido de: Vf=Vo*(1+i*n)=€1.000*(1+1%*18)=€1.000*(1+12%*1,5)=€1.180.
  • Como podemos observar el interés compuesto siempre da rentabilidades superiores que el interés simple porque se reinvierte en cada periodo (en este caso mensual) el dinero inicial invertido más los intereses generados.

Una vez entendido que aplicaremos interés compuesto siempre y cuando exista reinversión de intereses, la siguiente pregunta que debemos plantearnos es que si tenemos diferentes inversiones, con distintos periodos de tiempo, donde unas tienen reinversión de intereses y otras no, y entre aquellas que tienen reinversión, la frecuencia de reinversión es distinta, ¿cómo podemos saber cuál es la inversión que tiene una mayor rentabilidad? Para ello necesitaremos hablar del concepto de interés efectivo o TAE (Tasa Anual Equivalente). Es decir, necesitamos empezar a diferenciar entre intereses nominales (con los que empezamos a hacer los cálculos de matemáticas financieras) e intereses efectivos (que son los que de alguna forma nos permiten homogeneizar inversiones para que las podamos comparar, y aquella que tenga un interés efectivo superior, será la más rentable.

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Definición de interés simple

DEFINICIÓN DE INTERÉS SIMPLE

En el post anterior definición de interés e interés nominal explicamos ambos conceptos financieros y cómo calcularlos.

La siguiente idea que debemos comprender para poder definir el “interés simple” y el “interés compuesto”, es entender si existe o no reinversión de los intereses, ganancias o plusvalías generadas por la inversión, es decir, qué hemos ganado y el dinero inicial que hemos invertido (al que nos referiremos como “Vo” o principal invertido).

Si existe reinversión de los intereses generados entonces estaremos hablando de interés compuesto y si no existe reinversión, hablaremos de interés simple.

También es fundamental entender que si no tenemos información de si existe o no reinversión de los intereses, como norma y convenio se suele aplicar el interés compuesto a inversiones con plazos superiores a 1 año y el interés simple a inversiones con horizonte temporal inferior a 1 año. Para t=1 año, ambos intereses proporcionan el mismo resultado.

Sin embargo, lo que debe guiarnos primero siempre es ver si existe o no reinversión de intereses (si los hay, siempre interés compuesto), y si no tenemos información de la reinversión, entonces aplicar le criterio del tiempo. Es decir podemos tener una inversión a un plazo de 6 meses con reinversión de intereses bimensual (usaré interés compuesto aunque el plazo<1 año) o tener una inversión con duración 5 años sin reinversión de intereses (usaré interés simple).

Aclaremos adicionalmente que estamos ante una moneda con dos caras distintas desde la perspectiva de que hablaremos de rentabilidad de una inversión o coste de una financiación según seamos los inversores o prestatarios.

Pongamos un ejemplo para aclarar los conceptos tratados:

Ejemplo 1- Interés Simple: Supongamos una inversión de €1.000 iniciales, a un tipo de interés anual del 10%, con generación de intereses (devengo) y sin reinversión de los mismos cada año. La inversión tiene una duración de 3 años. Usaremos interés simple porque no hay reinversión de intereses aunque el periodo de tiempo de la inversión sea superior a un año.

Como no se realiza reinversión de los intereses, al final del año 1 tendremos €100 de intereses generados que no reinvertimos (más los €1.000 invertidos inicialmente en t=0), invirtiendo por tanto en el año 2 sólo los €1.000 iniciales y obteniendo intereses por valor de €100, volviendo a reinvertir el principal de €1.000 durante el año 3, que generará otros €100 en intereses recuperando al final del año 3: V0=€1.000 de principal y €300 de intereses.

La fórmula por tanto del interés simple es: Vf=Vo*(1+i*n) donde “i” es el interés nominal anual y “n” el tiempo. Es fundamental entender que si usamos el interés nominal anual, el tiempo debe ir en años.

  • Vf=Valor final de la inversión, en este caso en el año 3. V3.
  • V0=Valor inicial en t=0 de la inversión, en este caso el dinero que invertimos.
  • i=Interés nominal anual.
  • n=Tiempo en años porque hemos usado interés nominal anual.

Como la fórmula anterior es lineal, si en vez de usar el interés nominal anual=10% usamos el interés nominal semestral i2=10%/2=5%, el tiempo debe de ir en semestres, es decir n=número de semestres en 3 años=3*2=6 semestres. Si sustituimos los datos en la fórmula del interés simple vemos que obtenemos la misma solución que si resolvemos anualmente, por ello, y sólo cuando tenemos interés simple da igual en qué unidades (tiempo, interés) estemos trabajando en la fórmula. Esto no ocurre con el interés compuesto como veremos.

Ejemplo 2 – Interés simple acumulado: Supongamos ahora una inversión de €1.000, a un plazo de 1,5 años, con un tipo de interés a ese plazo del 12%, y sin reinversión de intereses. ¿Cuánto dinero tendríamos al final del periodo?

  • El interés a aplicar es interés simple pues no existe reinversión de intereses.
  • El interés que nos dan en este caso es el interés nominal acumulado a 1,5 años.
  • Vf=Vo*(1+i*n)=€1000*(1+12%*1)=€1.200

Una vez entendido que aplicaremos interés simple siempre y cuando no exista reinversión de intereses, explicaremos ahora cuándo usar la fórmula del interés compuesto, que asume que además del dinero inicial invertido en t=0, los intereses generados también se reinvierten para poder así generar rentabilidad adicional. En el siguiente post explicamos por tanto la definición de interés compuesto.

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Interés e interés nominal, definición

DEFINICIÓN DE INTERÉS NOMINAL

En el post de hoy os voy a hablar de los conceptos de interés, interés simple e interés compuesto que me servirán de base para poder hablaros en un post posterior de la idea de valor temporal del dinero y cuál es la “manera correcta financieramente de medir la rentabilidad de cualquier inversión”: métodos avanzados para el análisis de la rentabilidad económico-financiera de cualquier proyecto empresarial (“investment appraisal”) bien sea financiera o no; cuando se reciben flujos monetarios en distintos momentos del tiempo (que suele ser la mayoría de las veces en la vida real y de los negocios).

Primero necesitamos definir el concepto de interés: como la ganancia o plusvalía que se obtiene de una inversión (es decir, sobre un capital inicial invertido en el momento inicial t=0) en un periodo de tiempo u horizonte temporal “t”. A este ratio resultante de dividir por tanto plusvalía entre inversión inicial expresado en tanto por ciento o tanto por uno lo llamaremos “interés nominal” y lo notaremos como “in”. Es importante entender que podemos definir ese interés como una rentabilidad si somos quien invierte el dinero (o se lo presta a un tercero) o hablaríamos de coste de financiación en el caso de que estuviéramos pidiendo pedido ese dinero prestado y tuviéramos que devolver ese interés más la cantidad pedida prestada (“principal del préstamo”).

Por tanto, el concepto de interés va asociado a un horizonte temporal, es decir yo puedo hablar de un tipo de interés nominal anual del 12% que equivale a un tipo de interés nominal mensual del 1% (12% / 12 meses en el año), o el 3% de interés nominal trimestral (12% / 4 trimestres en el año) o el 6% de interés nominal semestral (12% / 2 semestres en el año).

Lo que es importante entender de forma conceptual es que el interés nominal en cualquier ejercicio de matemáticas financieras es aquel que necesitamos conocer para poder empezar a hacer nuestros cálculos y resolver cualquier ejercicio.

La notación que se usa por tanto para definir los intereses nominales definidos anteriormente, representados por el subíndice “n” serían:

  • i12=Interés nominal mensual. n=12 porque el año tiene 12 meses.
  • i4= Interés nominal trimestral. n=4 porque el año tiene 4 trimestres.
  • i2= Interés nominal semestral. n=2 porque el año tiene 2 semestres.

A cuándo el interés es generado (en qué periodo de tiempo) se le llama “devengo de intereses”, así tenemos devengos anuales, mensuales, trimestrales y semestrales respectivamente.

Por convenio en el ámbito financiero y si no se expresa lo contrario, el interés nominal que se suele dar por defecto es el interés nominal anual. Es decir, que si un ejercicio dice que sea un interés del 6% y no se dan más datos, debemos de entender que es un interés nominal anual (por convenio). Pongamos ahora un ejemplo práctico para entender el concepto:

Ejemplo 1

Supongamos invertimos €1000 en un producto financiero que al año nos genera de ganancia €100. El interés nominal anual (por que periodo de tiempo donde se genera la ganancia es de 1 año) sería del 10%. Plusvalía: €100. Invertido en t=0 €1000.

Ejemplo 2

Supongamos invertimos €2000 en un acciones de una empresa y que al año las vendemos por €5000. La ganancia o plusvalía sería de €3000, y la rentabilidad de nuestra inversión (interés nominal anual) sería de €3000/€5000= 60%.

Ejemplo 3

Supongamos que pedimos financiación a un banco por €100.000, para devolver dentro de 1 año el dinero pedido (principal del préstamo) y devolver al vencimiento del mismo un interés del 10%. Este interés como no se dice nada, debemos asumir que es un interés nominal anual. En este caso no hablaríamos de rentabilidad de la inversión sino de coste de la financiación, siendo el 10% de interés nominal anual y pagando a vencimiento al banco €100.000 (principal) + €10.000 de intereses.

Ejemplo 4

Supongamos invertimos €1000 en un producto financiero cuya ganancia en 2 años es de €500. En este caso, el interés que tendríamos sería de €500/€1000=50%, pero en este caso no sería interés nominal anual, sino un interés nominal en un periodo de 1,5 años, que se llama “interés nominal acumulado”.

Una vez hemos entendido el concepto de interés nominal, el siguiente concepto que debemos entender es el concepto de interés simple e interés compuesto, y que está íntimamente ligado a si hay o no reinversión de los intereses generados en la inversión que realizamos. Para entender ambos conceptos consulta el post:

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