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Interés efectivo y TAE (Tasa Anual Equivalente)

INTERÉS EFECTIVO Y TAE (TASA ANUAL EQUIVALENTE)

El objetivo de este artículo es explicar la definición e importancia de los tipos de interés efectivos, conocidos como TAE o Tasa Anual Equivalente (que en la terminología inglesa se conoce como CAGR: Compound Annual Growing Rate), como método de cálculo para homogeneizar, poder comparar inversiones y decidir cuál es más atractiva.

Para ello la siguiente pregunta que debemos plantearnos es que si tenemos diferentes inversiones, con distintas cantidades, periodos de tiempo, donde unas tienen reinversión de intereses y otras no, y entre aquellas que tienen reinversión, la frecuencia de reinversión es distinta, ¿cómo podemos saber cuál es la inversión que tiene una mayor rentabilidad? Para ello necesitaremos hablar del concepto de interés efectivo. Es decir, necesitamos empezar a diferenciar entre intereses nominales (con los que empezamos a hacer los cálculos de matemáticas financieras) e intereses efectivos (que son los que de alguna forma nos permiten homogeneizar inversiones para que las podamos comparar, y aquella que tenga un interés efectivo superior, será la más rentable).

También es importante entender que el procedimiento de la TAE para el cálculo de las inversiones sólo vale y puede aplicarse cuando el proyecto tiene un flujo inicial (inversión en t=0) y recuperamos el principal e intereses en el futuro en otro instante de tiempo, es decir, si tenemos un proyecto que tiene muchos flujos positivos y negativos a lo largo de la vida del proyecto (es decir, más de 2 flujos), no podremos utilizar la TAE, y deberemos usar los métodos usados en finanzas corporativas para el análisis de inversiones que se describen en el post investment appraisal techniques, y que son el VAN, TIR y payback. Por ello, 2 flujos, podemos usar TAE; + de 2 flujos debemos usar la TIR. Tanto TAE como TIR son intereses anuales compuestos porque suponen reversión de intereses anual.

Si analizamos los resultados obtenidos en el ejemplo 4 (Explicado en el artículo interés compuesto) y ejemplo 2 (Explicado en el artículo interés simple), observamos que obtenemos resultados distintos según apliquemos interés simple o compuesto, por lo que la siguiente pregunta que nos surge es cómo poder comparar inversiones que tienen tipos de interés o plazos de inversión distintos:

La TAE es una tasa o tipo de interés anual, y para calcularla lo que se plantea es una inversión “ficticia” o “equivalente” a la que tengo que produzca un resultado final igual a la inversión real que estoy calculando, planteándose por tanto una igualdad donde las variables conocidas son el capital inicial invertido, el tipo de interés a aplicar, el tiempo y la incógnita la TAE. Es importante entender que la TAE al ser un tipo anual, el periodo de tiempo debe ir en años.

a) Supongamos que queremos calcular la TAE de una inversión a 18 meses con un interés nominal anual del 12% sin reinversión de intereses.

  • Interés simple: Vf=Vo*(1+i*n)=(1+TAE)^n (Inversión real):
  • Vf=€1.000*(1+1%*18)
  • Inversión ficticia en términos anuales y con reinversión:
  • Vf=€1.000*(1+TAE)^1,5
  • Igualamos la inversión real con la ficticia.
  • €1.000*(1+1%*18)=€1.000*(1+TAE)^1,5
  • Despejando la TAE=11,67%

b) Para el ejemplo 2, donde el tipo de interés es del 12% para un periodo de 1,5 años sin reinversión de intereses y un plazo de inversión de 1,5 años, la ecuación a plantear sería:

  • Interés simple: Vf=€1.000*(1+12%*1)=€1.000*(1+TAE)^1,5
  • Despejando obtenemos una TAE:=7,85%

c) Para el ejemplo 4, la ecuación a plantear para el caso de interés compuesto con reinversión mensual de intereses, duración 1,5 años e interés nominal anual del 12%, la TAE sería:

  • Interés compuesto: Vf=Vo*(1+i)^n=Vo*(1+TAE)^n
  • €1.000*(1+1%)^18=€1.000*(1+TAE)^1,5
  • Despejando obtenemos TAE=12,68%

Analizando las TAEs de las tres inversiones para un capital inicial invertido de €1.000 observamos que la mejor inversión en términos de rentabilidad homogenizada es la inversión tercera, ejemplo 4 (€1.000, plazo 1,5 años, interés anual del 12% con devengo mensual y reinversión de intereses-interés compuesto y TAE: 12,68%) frente a la inversión del primer ejemplo (inversión de €1.000, a un plazo de 1,5 años, interés anual 12% sin reinversión de intereses-interés simple, TAE: 11,67%) y frente a la inversión segunda, ejemplo 2 (€1.000, plazo 1,5 años, tipo de interés a 1,5 años del 12% sin reinversión de intereses-interés simple).

Conviene remarcar que la TAE:

1) Es un media geométrica, que no está afectada por valores intermedios de las observaciones, sino sólo del valor final e inicial.

2) Para calcular una TAE, no es necesario conocer la cantidad invertida ni el periodo de tiempo de una inversión. Pongamos un ejemplo: Supongamos un inversión con interés compuesto (reinversión trimestral, n=4). ¿Cuál es la TAE?

  • Inversión real: Vf=Vo*(1+i4)^(n años*4 trimestres)
  • Inversión ficticia (la de la TAE). Vf=Vo*(1+TAE)^(n años)
  • Igualamos la inversión ficticia a la real, y como podemos ver la variable “n años” y Vo, “inversión inicial” desaparecen de la ecuación.
  • (1+i4)^4=(1+TAE)

3) Otros potenciales usos de la TAE sería para calcular el crecimiento anual compuesto de cualquier índice, acción, mercado, variable que tiene un valor y evoluciona en el tiempo. Supongamos por ejemplo que el valor de un índice bursátil es 10€ en 1990 y 100€ en 2014. Como conocemos el valor futuro y final, y la inversión presenta un plazo superior a un año (debemos usar interés compuesto por convenio), la TAE de esta inversión sería: Vf=100€=10€*(1+TAE)^24. TAE=10,06%. La TAE no indicaría que la acción ha crecido anualmente de forma compuesta al 10,06% cada año (aunque realmente la acción no haya crecido así, sin embargo, el valor inicial y final son los mismos.

Como conclusión por tanto los tipos efectivos son el procedimiento para homogeneizar inversiones, ya que hemos pasado de una inversión real a una inversión ficticia (que no existe pero que se realiza de forma anual compuesta y genera el mismo resultado que la inversión real que tenemos).

 Saludos cordiales,

Antonio Alcocer

www.antonioalcocer.com

www.minds4change.org

Definición de interés compuesto

DEFINICIÓN DE INTERÉS COMPUESTO

En el post anterior definición de interés e interés nominal explicamos ambos conceptos financieros y cómo calcularlos. Posteriormente explicábamos la definición de interés simple, y en este post, definiremos cuándo se debe usar el interés compuesto.

La siguiente idea que debemos comprender para poder definir el “interés compuesto”, es entender si existe o no reinversión de los intereses, ganancias o plusvalías generadas por la inversión, es decir, qué hemos ganado y el dinero inicial que hemos invertido (al que nos referiremos como “Vo” o principal invertido).

Si existe reinversión de los intereses generados entonces estaremos hablando de interés compuesto y si no existe reinversión, hablaremos de interés simple.

También es fundamental entender que si no tenemos información de si existe o no reinversión de los intereses, como norma y convenio se suele aplicar el interés compuesto a inversiones con plazos superiores a 1 año y el interés simple a inversiones con horizonte temporal inferior a 1 año. Para t=1 año, ambos intereses proporcionan el mismo resultado.

Sin embargo, lo que debe guiarnos primero siempre es ver si existe o no reinversión de intereses (si los hay, siempre interés compuesto), y si no tenemos información de la reinversión, entonces aplicar le criterio del tiempo. Es decir podemos tener una inversión a un plazo de 6 meses con reinversión de intereses bimensual (usaré interés compuesto aunque el plazo<1 año) o tener una inversión con duración 5 años sin reinversión de intereses (usaré interés simple).

Aclaremos adicionalmente que estamos ante una moneda con dos caras distintas desde la perspectiva de que hablaremos de rentabilidad de una inversión o coste de una financiación según seamos los inversores o prestatarios.

Pongamos un ejemplo para aclarar los conceptos tratados:

Ejemplo 3 – Interés compuesto: Supongamos una inversión de €1.000 iniciales, a un tipo de interés anual del 10%, con generación de intereses (devengo) y reinversión de los mismos cada año. La inversión tiene una duración de 3 años.

El 10% de €1.000 son €100, luego al final del año 1, tendríamos €1.000 iniciales que invertí más los intereses generados que en este caso son €100. Como el interés es compuesto, esos €100 no se sacan de la cuenta corriente, si no que se reinvierten junto con el capital inicial aportado de €1.000 (por ser interés compuesto) otro año más al 10%, generando unos intereses de €110 al final del año 2 (10%*€1.100), teniendo por tanto al final del año 2 un capital total de 1.210€ = €1.000+10%(€1.000)+10%(€1.100)=€1.210. Si reinvertimos otro año más esos €1.210 sin sacarlos de la cuenta corriente, obtendríamos un interés para el tercer año del 10%*€1.210=€121, obteniendo y recuperando al final del tercer año en nuestra inversión €1.331 (el capital inicial de €1.000 más los intereses generados cada año que contabilizan €100+€110+€121=€331).

Extrapolando a “n” años obtenemos la fórmula del interés compuesto, que nos indica que el capital final “Vf” que obtenemos en una inversión a “n” años, con un tipo de interés nominal anual “i”, y habiendo aportado una cantidad inicial “Vo” donde se produce la reinversión anual del principal y los intereses (es decir no retiramos durante el periodo de inversión el dinero,  ni intereses/ganancias ni principal) corresponde a la fórmula:

  • Vf=Vo*(1+i)^n
  • Es fundamental entender que en esta fórmula si el interés es anual, el tiempo “n” debe ir en años, si el interés es mensual el tiempo “n” va en meses, si el interés es semestral el tiempo “n” va en semestres.
  • Vf=Valor final de la inversión, en este caso en el año 3. V3.
  • V0=Valor inicial en t=0 de la inversión, en este caso el dinero que invertimos.
  • i=Interés nominal anual.
  • n=Tiempo en años porque hemos usado interés nominal anual.

Ejemplo 4 – Interés compuesto: Supongamos una inversión de €1.000 a un plazo de 1,5 años, al 12% interés anual con devengo de intereses mensual y reinversión de los mismos. ¿Cuánto dinero tendríamos al final de la inversión? La forma de proceder sería:

  • ¿Es interés simple o interés compuesto? Interés compuesto porque existe reinversión de intereses. Vf=Vo*(1+i)^n.
  • ¿Cuándo es el devengo de intereses? Mensual, entonces el tipo de interés que tengo que usar debe ser el interés nominal mensual (i12). 12% anual dividido entre 12 meses = 1% interés nominal mensual.
  • ¿Cuál es la duración de la inversión? 1,5 años. Como tengo el interés en meses, debo pasar 1,5 años a meses: 12*1,5=18 meses.
  • Aplicando la fórmula del interés compuesto el capital que tendría en el banco a los 1,5 años sería de:  Vf=Vo*(1+i)^n=€1.000*(1+1%)^18=€1.196,14
  • Si no hubiera habido reinversión de los intereses, el interés a aplicar habría sido el simple y el valor final obtenido habría sido de: Vf=Vo*(1+i*n)=€1.000*(1+1%*18)=€1.000*(1+12%*1,5)=€1.180.
  • Como podemos observar el interés compuesto siempre da rentabilidades superiores que el interés simple porque se reinvierte en cada periodo (en este caso mensual) el dinero inicial invertido más los intereses generados.

Una vez entendido que aplicaremos interés compuesto siempre y cuando exista reinversión de intereses, la siguiente pregunta que debemos plantearnos es que si tenemos diferentes inversiones, con distintos periodos de tiempo, donde unas tienen reinversión de intereses y otras no, y entre aquellas que tienen reinversión, la frecuencia de reinversión es distinta, ¿cómo podemos saber cuál es la inversión que tiene una mayor rentabilidad? Para ello necesitaremos hablar del concepto de interés efectivo o TAE (Tasa Anual Equivalente). Es decir, necesitamos empezar a diferenciar entre intereses nominales (con los que empezamos a hacer los cálculos de matemáticas financieras) e intereses efectivos (que son los que de alguna forma nos permiten homogeneizar inversiones para que las podamos comparar, y aquella que tenga un interés efectivo superior, será la más rentable.

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